在高考数学中，立体几何部分常常涉及外接球和内切球的相关问题。这类题目不仅考察学生对空间几何的理解，还考验其逻辑推理能力。为了帮助大家更好地掌握这部分内容，本文将详细整理八种常见类型的外接球与内切球试题，并附上相应的解题公式。

一、正方体的外接球与内切球

1. 正方体的外接球

正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长度。设正方体边长为 \(a\)，则体对角线长为 \(\sqrt{3}a\)，因此外接球半径 \(R = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)。

2. 正方体的内切球

内切球的直径等于正方体的边长 \(a\)，因此内切球半径 \(r = \frac{a}{2}\)。

二、长方体的外接球与内切球

3. 长方体的外接球

设长方体的三条棱长分别为 \(a, b, c\)，则外接球半径 \(R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}\)。

4. 长方体的内切球

若长方体可以内切于一个球，则该球的直径等于长方体的最小棱长，即 \(r = \min(a, b, c)/2\)。

三、正四面体的外接球与内切球

5. 正四面体的外接球

设正四面体边长为 \(a\)，则外接球半径 \(R = \frac{\sqrt{6}}{4}a\)。

6. 正四面体的内切球

正四面体的内切球半径 \(r = \frac{\sqrt{6}}{12}a\)。

四、圆柱体的外接球与内切球

7. 圆柱体的外接球

圆柱体的外接球半径 \(R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}\)，其中 \(r\) 是底面半径，\(h\) 是高。

8. 圆柱体的内切球

若圆柱体可以内切于一个球，则该球的直径等于圆柱体的高 \(h\)，即 \(r = \frac{h}{2}\)。

通过以上八种类型的问题总结，我们可以看到，无论是正方体、长方体还是其他复杂的立体图形，其外接球与内切球的计算都依赖于基本的空间几何关系。熟练掌握这些公式和解题思路，对于解决高考中的相关题目至关重要。

希望本文的内容能够帮助同学们在备考过程中更加得心应手，顺利应对高考数学中的立体几何挑战！