2021年的全国硕士研究生入学考试已经落下帷幕，作为众多考生关注的重点科目之一，数学（三）在本次考试中依旧保持着较高的难度和区分度。本文将对2021年考研数学（三）的真题进行详细分析，并附上解析，帮助大家更好地理解题目背后的考点与解题思路。
一、选择题部分
选择题部分主要考察了考生的基础知识掌握情况以及灵活运用的能力。以下是几道典型的题目及其解析：
例题 1：
设函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $，则 $ f'(x) $ 在 $ x=0 $ 处的值为多少？
解析：
根据复合函数求导法则，$ f'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x $。代入 $ x=0 $ 后，得：
$$
f'(0) = \frac{1}{0^2+1} \cdot 2 \cdot 0 = 0
$$
因此，答案为 $ \mathbf{0} $。
例题 2：
若矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则其特征值为？
解析：
计算特征值时，需先求解特征方程 $ |A - \lambda I| = 0 $。即：
$$
\begin{vmatrix}
1-\lambda & 2 \\
3 & 4-\lambda
\end{vmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2
$$
解此二次方程可得特征值为 $ \lambda_1 = \frac{5+\sqrt{33}}{2}, \lambda_2 = \frac{5-\sqrt{33}}{2} $。
二、填空题部分
填空题通常考查考生的基本运算能力和细节处理能力。以下是一些典型题目及解答：
例题 1：
已知 $ \int_{0}^{1} e^{x^2} dx = a $，则 $ \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx = $ ______。
解析：
通过观察积分形式，可以利用换元法简化计算。令 $ u = x^2 $，则 $ du = 2x dx $。当 $ x=0 $ 时，$ u=0 $；当 $ x=1 $ 时，$ u=1 $。于是：
$$
\int_{0}^{1} x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^1 = \frac{1}{2}(e-1)
$$
因此，答案为 $ \mathbf{\frac{1}{2}(e-1)} $。
三、解答题部分
解答题是考研数学中的重头戏，不仅需要扎实的理论基础，还需要良好的逻辑推理能力。以下是几道经典题目及其详解：
例题 1：
证明：对于任意正整数 $ n $，有 $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} $。
解析：
利用裂项相消法，注意到：
$$
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}
$$
因此：
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)
$$
展开后得到：
$$
\left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
$$
所有中间项相互抵消，最终剩下：
$$
1 - \frac{1}{n+1}
$$
证毕。
四、总结
通过对2021年考研数学（三）真题的剖析可以看出，试卷整体结构合理，涵盖了高等数学、线性代数和概率论等多个模块。考生在备考过程中，应注重基础知识的积累，同时加强综合应用能力的训练。希望以上解析能够为大家提供一定的参考价值！
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