在数学中，平面向量是一个非常重要的概念，它不仅在几何学中有广泛应用，而且在物理学、工程学等领域也有着不可或缺的地位。掌握平面向量的相关公式对于解决实际问题至关重要。以下是平面向量的一些基本公式及其应用。

一、向量的基本定义与表示

设A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)为平面内的两个点，则向量AB可以表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。向量也可以用单位向量来表示，即e=AB/|AB|，其中|AB|表示向量AB的模长。

二、向量的加法和减法

1. 向量加法：若a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 向量减法：若a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a-b=(x₁-x₂, y₁-y₂)。

三、向量的数量积（点积）

1. 定义：设a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a·b=x₁x₂+y₁y₂。

2. 几何意义：a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与向量b之间的夹角。

3. 性质：

- 交换律：a·b=b·a

- 分配律：(a+b)·c=a·c+b·c

- 数乘结合律：(ka)·b=k(a·b)

四、向量的叉积（外积）

1. 定义：设a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a×b=(x₁y₂-x₂y₁)。

2. 几何意义：|a×b|=|a||b|sinθ，表示由向量a和向量b所确定的平行四边形的面积。

五、向量的模长

1. 定义：设a=(x₁, y₁)，则|a|=√(x₁²+y₁²)。

2. 应用：用于计算向量的长度或距离。

六、向量的方向余弦

设向量a=(x₁, y₁)，其方向余弦为cosα=x₁/|a|，cosβ=y₁/|a|，其中α、β分别为向量a与x轴、y轴正方向之间的夹角。

七、向量的投影

1. 定义：设向量a、b均为非零向量，则向量a在向量b上的投影为proj_b(a)=|a|cosθ。

2. 公式：proj_b(a)=(a·b)/|b|。

八、向量的旋转

设向量a=(x₁, y₁)，将其绕原点逆时针旋转θ角度后得到的新向量a'为：

a'=(x₁cosθ-y₁sinθ, x₁sinθ+y₁cosθ)。

九、直线的方向向量

若直线方程为Ax+By+C=0，则该直线的一个方向向量为(-B, A)。

十、平面的法向量

若平面方程为Ax+By+Cz+D=0，则该平面的一个法向量为(A, B, C)。

以上便是平面向量的一些基本公式及应用。熟练掌握这些公式有助于更好地理解和解决涉及向量的实际问题。希望本文能对你有所帮助！