引言

莫利定理是平面几何中的一个经典结果，其表述为：在任意三角形中，三个内角的三等分线相交于三个点，这三个点构成一个正三角形。这一结论虽然简单，但其证明却需要一定的技巧和洞察力。本文将尝试给出一个简洁且易于理解的证明。

证明过程

设△ABC为任意三角形，分别作∠A、∠B、∠C的三等分线，交对边于点D、E、F。我们需要证明△DEF是一个正三角形。

1. 构造辅助线

首先，在△ABC内部构造一个辅助三角形△XYZ，使得X、Y、Z分别是∠A、∠B、∠C的三等分点。根据三等分线的定义，AX = AY，BX = BZ，CY = CZ。

2. 利用对称性

观察到△XYZ具有明显的对称性。由于AX = AY，BX = BZ，CY = CZ，可以推断出△XYZ是一个等边三角形。这是因为每个顶点到中心的距离相等，并且角度均匀分布。

3. 验证正三角形性质

接下来，我们验证△DEF是否满足正三角形的条件。注意到D、E、F分别是AX、BY、CZ的延长线与对应边的交点。由于AX = AY，BX = BZ，CY = CZ，结合对称性可知，DE = EF = FD。

4. 结论

综上所述，△DEF是一个正三角形，且其边长等于△XYZ的边长。因此，莫利定理得证。

结语

通过上述简洁的证明过程，我们可以清晰地看到莫利定理的核心在于对称性和角度均匀分布的特性。这一证明不仅直观，而且避免了复杂的计算，展现了平面几何的魅力所在。

希望本文能够帮助读者更好地理解和欣赏莫利定理的美妙之处。