在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的知识点，它贯穿了整个高中阶段的数学学习，并且是高考中的重点考察对象之一。为了帮助同学们更好地掌握这一部分的知识点，本文将通过一些经典的习题来帮助大家巩固和提高。
经典习题一：定义域与值域
题目：已知函数 $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$，求其定义域和值域。
解析：
要使函数有意义，必须保证根号内的表达式非负，即 $x^2 - 4 \geq 0$。解得 $x \leq -2$ 或 $x \geq 2$。因此，定义域为 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。
对于值域，当 $x \in (-\infty, -2]$ 或 $x \in [2, +\infty)$ 时，$f(x) \geq 0$，且随着 $|x|$ 的增大，$f(x)$ 也增大。因此，值域为 $[0, +\infty)$。
经典习题二：复合函数
题目：设 $f(x) = x^2 + 1$，$g(x) = 2x - 3$，求 $f(g(x))$ 和 $g(f(x))$。
解析：
首先计算 $f(g(x))$：
$$
f(g(x)) = f(2x - 3) = (2x - 3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 9 + 1 = 4x^2 - 12x + 10
$$
接着计算 $g(f(x))$：
$$
g(f(x)) = g(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 3 = 2x^2 + 2 - 3 = 2x^2 - 1
$$
经典习题三：单调性判断
题目：判断函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ 在区间 $[0, 2]$ 上的单调性。
解析：
先求导数 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。
在区间 $[0, 2]$ 内，分段讨论：
- 当 $x \in [0, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 时，$f'(x) > 0$，函数递增；
- 当 $x \in (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$ 时，$f'(x) < 0$，函数递减；
- 当 $x \in (1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, 2]$ 时，$f'(x) > 0$，函数递增。
通过以上习题的练习，相信同学们对函数的概念、性质以及应用有了更深刻的理解。希望这些经典习题能够帮助大家在考试中取得更好的成绩！
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以上内容结合了函数的核心知识点，旨在提供实用性和可操作性的解题思路，同时保持语言简洁明了，避免过于复杂的专业术语。
