在高等数学中，函数的性质是研究的核心内容之一。其中，函数的单调性和凹凸性是两个重要的概念，它们不仅帮助我们更好地理解函数的行为特征，还为解决实际问题提供了理论基础。

首先，我们来探讨函数的单调性。函数的单调性描述的是函数值随自变量变化的趋势。如果一个函数在其定义域内的任意两点之间都是递增的，则称该函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果函数在其定义域内的任意两点之间都是递减的，则称该函数在这个区间上是单调递减的。通过分析函数的一阶导数，我们可以判断其单调性。当一阶导数大于零时，函数递增；当一阶导数小于零时，函数递减。

接下来，我们讨论函数的凹凸性。函数的凹凸性指的是函数曲线的弯曲方向。如果函数图像在某一点及其附近的部分位于该点切线的上方，则称此函数在此区间内是凹的；反之，若函数图像位于切线的下方，则称此函数在此区间内是凸的。利用二阶导数可以确定函数的凹凸性：当二阶导数大于零时，函数为凹；当二阶导数小于零时，函数为凸。

结合单调性和凹凸性，我们可以更全面地描绘出函数的整体特性。例如，在经济学中，成本函数和收益函数的单调性和凹凸性可以帮助企业优化生产决策；在物理学中，位移-时间函数的单调性和凹凸性能够揭示物体运动状态的变化规律。因此，掌握这些基本概念对于深入学习高等数学以及应用数学知识解决实际问题具有重要意义。

总之，高等数学中的函数单调性和凹凸性是理解函数行为的关键工具。通过对这两个特性的深入研究，不仅可以提高我们的数学素养，还能增强我们解决复杂问题的能力。