在高中数学中，函数的值域与最值是高考中的重要考点之一。它不仅考查学生对函数性质的理解，还涉及代数变形、图像分析以及不等式应用等多种数学思想。掌握求解函数值域和最值的常用方法，有助于提高解题效率，提升考试成绩。
一、常见求函数值域的方法
1. 直接法（观察法）
对于一些简单的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可以直接根据定义域和函数的单调性来判断其值域。
例题：求函数 $ y = 2x + 1 $ 的值域。
解析：该函数为一次函数，定义域为全体实数，且斜率为正，因此函数在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增，值域为 $ (-\infty, +\infty) $。
2. 配方法
常用于二次函数或可转化为二次形式的函数，通过配方将其转化为顶点式，从而确定最大值或最小值。
例题：求函数 $ y = x^2 - 4x + 5 $ 的值域。
解析：配方得 $ y = (x - 2)^2 + 1 $，由于平方项非负，最小值为1，故值域为 $ [1, +\infty) $。
3. 判别式法
将函数表达式转化为关于某个变量的方程，利用判别式判断是否有实数解，从而确定值域。
例题：求函数 $ y = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} $ 的值域。
解析：设 $ y = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} $，整理得 $ y(x^2 + 2) = x^2 + 1 $，即 $ (y - 1)x^2 + 2y - 1 = 0 $。
为使方程有实数解，判别式需非负，即 $ 0 \geq 0 $，解得 $ y \in [\frac{1}{2}, 1) $。
4. 导数法
利用导数求出函数的极值点，结合定义域判断最大值和最小值。
例题：求函数 $ y = x^3 - 3x $ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最值。
解析：求导得 $ y' = 3x^2 - 3 $，令导数为零，得极值点 $ x = \pm1 $。
计算各点函数值：$ f(-2) = -8 + 6 = -2 $，$ f(-1) = 1 + 3 = 4 $，$ f(1) = -1 - 3 = -4 $，$ f(2) = 8 - 6 = 2 $。
所以最大值为4，最小值为-4。
5. 换元法
对于含有根号、指数或三角函数的复杂函数，可通过变量替换简化问题。
例题：求函数 $ y = \sqrt{x^2 + 1} + x $ 的值域。
解析：令 $ t = x $，则 $ y = \sqrt{t^2 + 1} + t $。
当 $ t \geq 0 $ 时，$ y > 0 $；当 $ t < 0 $ 时，$ y = \sqrt{t^2 + 1} + t $，可进一步分析得出值域为 $ [1, +\infty) $。
二、常见求函数最值的方法
1. 单调性法
若函数在某区间上单调递增或递减，则端点处取得最值。
2. 图像法
通过绘制函数图像，直观判断最大值和最小值的位置。
3. 不等式法
利用基本不等式（如均值不等式、柯西不等式等）求最值。
例题：已知 $ x > 0 $，求 $ y = x + \frac{1}{x} $ 的最小值。
解析：由均值不等式得 $ x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 $，当且仅当 $ x = 1 $ 时取等号，故最小值为2。
三、训练题精选
1. 求函数 $ y = \frac{2x + 1}{x - 1} $ 的值域。
2. 求函数 $ y = x^2 - 2x + 3 $ 在区间 $[0, 3]$ 上的最值。
3. 已知 $ x > 0 $，求函数 $ y = x^3 + \frac{1}{x^3} $ 的最小值。
4. 求函数 $ y = \sqrt{x^2 + 4x + 5} $ 的值域。
5. 设 $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 3} $，求其最大值。
四、总结
函数的值域与最值问题是高考数学中的高频内容，考生应熟练掌握多种解题方法，并灵活运用。建议多做练习题，加强理解与应用能力，同时注意题目的陷阱与特殊条件，提高解题的准确性和速度。
通过系统复习和针对性训练，相信同学们能够在高考中从容应对这一类题目，取得理想的成绩。
