在数学学习中，对数函数是一个重要的知识点，尤其在高中数学和大学基础数学中占据重要地位。为了帮助同学们更好地掌握对数函数的相关知识，下面提供一套精选的对数函数练习题，并附有详细解答，便于理解和复习。
一、选择题
1. 下列函数中，是关于 $ x $ 的对数函数的是（ ）
A. $ y = 2^x $
B. $ y = \log_3(x) $
C. $ y = x^2 $
D. $ y = \sin(x) $
答案：B
2. 若 $ \log_a(8) = 3 $，则 $ a $ 的值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：A
3. 已知 $ \log_2(16) = x $，那么 $ x $ 的值是（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：B
4. 函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x) $ 在定义域内的单调性为（ ）
A. 增函数
B. 减函数
C. 先增后减
D. 不确定
答案：B
5. 方程 $ \log_3(x - 1) = 2 $ 的解是（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
答案：A
二、填空题
1. 计算：$ \log_5(25) = \_\_\_\_\_ $
答案：2
2. 已知 $ \log_2(8) = a $，那么 $ a = \_\_\_\_\_ $
答案：3
3. 若 $ \log_3(x) = 4 $，则 $ x = \_\_\_\_\_ $
答案：81
4. $ \log_{10}(1000) = \_\_\_\_\_ $
答案：3
5. 求 $ \log_4(2) $ 的值为 ______
答案：0.5 或 $ \frac{1}{2} $
三、解答题
1. 解方程：$ \log_2(x + 1) = 3 $
解：
根据对数定义，
$ x + 1 = 2^3 = 8 $
所以 $ x = 7 $
2. 求函数 $ f(x) = \log_3(x - 2) $ 的定义域。
解：
对数函数的真数必须大于 0，
即 $ x - 2 > 0 $，
所以 $ x > 2 $，定义域为 $ (2, +\infty) $
3. 化简表达式：$ \log_2(8) + \log_2(4) $
解：
$ \log_2(8) = 3 $，$ \log_2(4) = 2 $，
所以结果为 $ 3 + 2 = 5 $
4. 已知 $ \log_2(3) = a $，试用 $ a $ 表示 $ \log_2(9) $
解：
因为 $ 9 = 3^2 $，
所以 $ \log_2(9) = \log_2(3^2) = 2\log_2(3) = 2a $
5. 求函数 $ y = \log_2(x) $ 的图像经过哪些点？
解：
例如，当 $ x = 1 $ 时，$ y = 0 $；
当 $ x = 2 $ 时，$ y = 1 $；
当 $ x = 4 $ 时，$ y = 2 $；
当 $ x = 8 $ 时，$ y = 3 $，
因此图像经过点 $ (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3) $ 等。
四、拓展题
1. 已知 $ \log_3(2) = a $，求 $ \log_9(2) $ 的值。
解：
因为 $ 9 = 3^2 $，
所以 $ \log_9(2) = \frac{\log_3(2)}{\log_3(9)} = \frac{a}{2} $
2. 解不等式：$ \log_2(x - 1) < 1 $
解：
首先，定义域为 $ x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 $
然后，由 $ \log_2(x - 1) < 1 $ 得
$ x - 1 < 2^1 = 2 \Rightarrow x < 3 $
因此，解集为 $ 1 < x < 3 $
总结
通过对数函数的练习题，可以加深对对数概念的理解，掌握其基本性质与运算规则。建议在做题过程中注意以下几点：
- 对数函数的定义域和值域；
- 对数的换底公式与运算性质；
- 对数函数的图像特征及其单调性；
- 实际问题中如何建立对数模型。
希望以上练习题能帮助你巩固所学知识，提升解题能力！
