【线性代数--第四版--课后习题答案】在学习《线性代数》这门课程时，课后习题的练习是巩固知识点、提升解题能力的重要环节。对于《线性代数（第四版）》这一经典教材，其内容系统全面，涵盖了矩阵、行列式、向量空间、特征值与特征向量等核心概念。为了帮助广大学习者更好地掌握这些知识，本文将对部分典型课后习题进行详细解析，帮助读者理解解题思路与方法。
一、行列式的计算
行列式是线性代数中的基本工具之一，常用于判断矩阵是否可逆以及求解线性方程组。例如，在教材中有一道关于三阶行列式的题目：
例题：计算行列式
$$
D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
$$
解法分析：
我们可以使用展开法或利用行变换简化计算。观察该行列式，发现第三行是第一行的两倍加第二行，因此该行列式为零。或者通过直接展开计算：
$$
D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)
= 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)
= (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3)
= -3 + 12 - 9 = 0
$$
由此可见，该行列式的值为 0。
二、矩阵的运算与逆矩阵
矩阵的加减乘法以及求逆是线性代数的核心内容。以下是一道关于矩阵乘法和逆矩阵的题目：
例题：设矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{bmatrix}
$$
求 $ AB $ 和 $ A^{-1} $。
解法分析：
首先计算矩阵乘积 $ AB $：
$$
AB = \begin{bmatrix}
1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\
3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50
\end{bmatrix}
$$
接下来求矩阵 $ A $ 的逆矩阵。根据公式：
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
$$
先计算行列式：
$$
\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2
$$
伴随矩阵为：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
4 & -2 \\
-3 & 1
\end{bmatrix}
$$
因此：
$$
A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{bmatrix}
4 & -2 \\
-3 & 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
1.5 & -0.5
\end{bmatrix}
$$
三、向量空间与线性相关性
向量空间的概念是理解线性代数结构的关键。以下是一个关于线性相关性的典型问题：
例题：判断向量组
$$
\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad
\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}, \quad
\vec{v}_3 = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}
$$
是否线性相关。
解法分析：
我们可以通过构造矩阵并计算其行列式来判断。将这三个向量作为列向量组成矩阵：
$$
M = \begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}
$$
计算该矩阵的行列式：
$$
\det(M) = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 8 \cdot 6) - 4 \cdot (2 \cdot 9 - 8 \cdot 3) + 7 \cdot (2 \cdot 6 - 5 \cdot 3)
= 1 \cdot (45 - 48) - 4 \cdot (18 - 24) + 7 \cdot (12 - 15)
= (-3) - 4 \cdot (-6) + 7 \cdot (-3)
= -3 + 24 - 21 = 0
$$
由于行列式为零，说明该向量组线性相关。
四、特征值与特征向量
特征值和特征向量是研究矩阵性质的重要工具。下面是一道关于求特征值的题目：
例题：求矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
$$
的特征值和对应的特征向量。
解法分析：
首先求特征方程：
$$
\det(A - \lambda I) = 0
\Rightarrow \begin{vmatrix}
2 - \lambda & 1 \\
1 & 2 - \lambda
\end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0
\Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
\Rightarrow (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0
$$
所以特征值为 $ \lambda_1 = 1 $, $ \lambda_2 = 3 $。
对于 $ \lambda_1 = 1 $，解方程 $ (A - I)\vec{x} = 0 $ 得到特征向量：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix} \vec{x} = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow \vec{x} = k \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
$$
对于 $ \lambda_2 = 3 $，解方程 $ (A - 3I)\vec{x} = 0 $ 得到特征向量：
$$
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix} \vec{x} = 0 \Rightarrow x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow \vec{x} = k \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
结语
通过对《线性代数（第四版）》课后习题的深入分析与解答，可以有效提升对线性代数理论的理解和应用能力。建议在学习过程中注重逻辑推理与公式的灵活运用，同时多做练习以增强解题技巧。希望本文能为广大学习者提供有价值的参考与帮助。
