近日，【平均数与加权平均数】引发关注。在统计学中，平均数和加权平均数是两个非常常见的概念，它们用于描述一组数据的集中趋势。虽然两者都涉及“平均”，但它们的计算方式和应用场景有所不同。以下是对这两个概念的总结与对比。
一、平均数（算术平均数）
定义：平均数是一组数据中所有数值之和除以数据的个数。它是最常用的平均值计算方法，适用于所有数据权重相同的情况。
公式：
$$
\text{平均数} = \frac{\sum x_i}{n}
$$
其中，$x_i$ 表示每个数据点，$n$ 表示数据的总个数。
特点：
- 简单直观；
- 对极端值敏感；
- 适用于数据分布较为均匀的情况。
二、加权平均数
定义：加权平均数是根据各个数据点的重要性（即权重）进行加权后的平均值。它常用于不同数据点具有不同影响力或重要性的场景。
公式：
$$
\text{加权平均数} = \frac{\sum (w_i \cdot x_i)}{\sum w_i}
$$
其中，$x_i$ 是数据点，$w_i$ 是对应的数据权重。
特点：
- 更灵活，能反映不同数据的重要性；
- 对极端值的敏感性取决于权重设置；
- 常用于成绩评定、投资组合回报率等实际问题中。
三、对比总结
| 项目 | 平均数 | 加权平均数 |
| 定义 | 所有数据相加后除以数量 | 各数据乘以权重后求和再除以权重总和 |
| 权重 | 所有数据权重相同 | 数据有不同的权重 |
| 应用场景 | 数据对等时使用 | 数据重要性不同时使用 |
| 计算复杂度 | 简单 | 稍复杂（需确定权重） |
| 敏感性 | 对极端值敏感 | 取决于权重分配 |
四、实际应用举例
情况1：平均数的应用
某班5名学生的数学成绩为：80、85、90、75、95。
计算平均分：
$$
\frac{80 + 85 + 90 + 75 + 95}{5} = \frac{425}{5} = 85
$$
情况2：加权平均数的应用
某学生各科成绩及学分如下：
| 科目 | 成绩 | 学分 |
| 数学 | 90 | 3 |
| 英语 | 85 | 2 |
| 物理 | 88 | 4 |
计算加权平均分：
$$
\frac{(90 \times 3) + (85 \times 2) + (88 \times 4)}{3 + 2 + 4} = \frac{270 + 170 + 352}{9} = \frac{792}{9} = 88
$$
五、总结
平均数和加权平均数都是衡量数据集中趋势的重要工具。平均数适用于所有数据同等重要的情况，而加权平均数则更适合数据重要性不同的场合。理解两者的区别和适用范围，有助于在实际问题中做出更准确的分析和决策。
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