【黄金分割法公式】黄金分割法是一种用于单变量函数优化的搜索方法，广泛应用于数学、工程、经济等领域。其核心思想是通过不断缩小搜索区间，逐步逼近最优解。该方法基于黄金分割比例（约0.618），在每次迭代中保留具有更优函数值的区间部分，从而高效地缩小范围。
一、黄金分割法的基本原理
黄金分割法适用于求解单峰函数的极小值或极大值问题。其基本步骤如下：
1. 确定初始区间：选择一个包含极值点的初始区间 [a, b]。
2. 计算两个内部点：在区间内选取两个对称点 x₁ 和 x₂，使得它们与区间的端点形成黄金分割比例。
3. 比较函数值：比较 f(x₁) 和 f(x₂)，根据结果决定保留哪个子区间。
4. 迭代缩小区间：重复上述步骤，直到满足精度要求。
黄金分割比为 (sqrt(5)-1)/2 ≈ 0.618，因此每次迭代都会将区间长度缩小约 61.8%。
二、黄金分割法公式总结
| 步骤 | 内容 | 公式 | ||
| 1 | 初始区间 | [a, b] | ||
| 2 | 第一个内部点 | x₁ = a + (b - a) × (1 - r) | ||
| 3 | 第二个内部点 | x₂ = a + (b - a) × r | ||
| 4 | 黄金分割比 | r = (sqrt(5) - 1)/2 ≈ 0.618 | ||
| 5 | 函数值比较 | 若 f(x₁) < f(x₂)，则保留 [a, x₂]；否则保留 [x₁, b] | ||
| 6 | 新区间更新 | 更新 a 或 b 为新的端点 | ||
| 7 | 停止条件 | 当 | b - a | < ε（ε 为给定精度）时停止 |
三、黄金分割法的特点
- 无需导数：适用于不可导或难以求导的函数。
- 收敛速度快：每次迭代都能有效缩小搜索范围。
- 稳定性好：对初始区间的选择相对不敏感。
四、适用场景
- 求解单变量连续函数的极值问题。
- 在工程设计、金融投资、机器学习参数调优等实际问题中广泛应用。
- 特别适合函数图像呈现单峰特性的情况。
五、注意事项
- 确保函数在初始区间内为单峰函数，否则可能无法找到正确极值点。
- 若函数存在多个极值点，黄金分割法可能收敛到局部最优而非全局最优。
- 实际应用中，需合理设置终止精度 ε。
总结
黄金分割法是一种简单而高效的单变量优化算法，其核心在于利用黄金分割比例逐步缩小搜索区间，最终逼近最优解。通过合理的公式设定和迭代过程，能够快速有效地解决实际问题。掌握其原理和应用方式，有助于在多种领域中提升优化效率。
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