【均匀分布的概率密度函数公式】在概率论与统计学中，均匀分布是一种常见的连续型概率分布。它描述的是在一个区间内所有可能结果出现的概率相等的情况。均匀分布可以分为连续型均匀分布和离散型均匀分布两种类型，但在实际应用中，连续型均匀分布更为常见。
一、连续型均匀分布的概率密度函数
设随机变量 $ X $ 在区间 $[a, b]$ 上服从均匀分布，记作 $ X \sim U(a, b) $，则其概率密度函数（PDF）为：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{b - a}, & \text{当 } a \leq x \leq b \\
0, & \text{其他情况}
\end{cases}
$$
其中：
- $ a $ 是区间的左端点；
- $ b $ 是区间的右端点；
- $ b - a $ 是区间的长度；
- 概率密度函数在区间内恒定，表示每个点的概率密度相同。
二、关键性质总结
| 属性 | 描述 |
| 分布类型 | 连续型均匀分布 |
| 记号 | $ X \sim U(a, b) $ |
| 定义域 | $ [a, b] $ |
| 概率密度函数 | $ f(x) = \frac{1}{b - a} $，当 $ a \leq x \leq b $ |
| 数学期望 | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} $ |
\begin{cases}
0, & x < a \\
\frac{x - a}{b - a}, & a \leq x \leq b \\
1, & x > b
\end{cases} $
三、实际应用场景
均匀分布常用于以下场景：
- 随机数生成器中的基础模型；
- 简单的模拟实验，如掷骰子（若为离散型）；
- 在缺乏更多信息时，假设事件在某个范围内等概率发生；
- 在某些工程或物理问题中，作为简化模型使用。
四、小结
均匀分布的概率密度函数是概率论中最基本的分布之一，具有形式简单、计算方便的特点。它的概率密度在整个区间内保持恒定，表明在该区间内的每一个点都有相同的“可能性”。掌握其公式和性质，有助于理解和分析许多实际问题中的随机现象。
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