【求极限lim的典型例题】在数学分析中，求极限是微积分的重要内容之一。极限的概念贯穿于函数连续性、导数、积分等许多知识点中。本文总结了几类常见的“求极限”问题，并通过表格形式展示其解题思路和答案，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、常见类型与解题思路
| 类型 | 典型例题 | 解题思路 | 答案 |
| 1. 0/0 型不定式 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 利用等价无穷小或洛必达法则 | $1$ |
| 2. ∞/∞ 型不定式 | $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 5}$ | 分子分母同除以最高次幂 | $3$ |
| 3. 1^∞ 型不定式 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | 利用自然对数转化或已知公式 | $e$ |
| 4. 0·∞ 型不定式 | $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ | 转化为0/0或∞/∞形式 | $0$ |
| 5. 无穷大减无穷大 | $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$ | 有理化处理 | $\frac{1}{2}$ |
| 6. 利用泰勒展开 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ | 展开分子为泰勒级数 | $\frac{1}{2}$ |
| 7. 三角函数极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | 利用恒等式 $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ | $\frac{1}{2}$ |
| 8. 洛必达法则 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ | 对分子分母分别求导 | $\frac{1}{2}$ |
| 9. 无穷小量比较 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2}$ | 利用泰勒展开或洛必达 | $-\frac{1}{2}$ |
| 10. 多变量极限（二维） | $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ | 考虑不同路径趋近 | $0$ |
二、注意事项
- 在处理极限问题时，应首先判断是否为不定式，如0/0、∞/∞、0·∞、1^∞等。
- 若为不定式，可考虑使用洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒展开、有理化等方法。
- 对于多变量极限，需注意从不同路径趋近是否得到相同结果，否则极限不存在。
- 极限的结果可能为有限值、无限大或不存在。
三、总结
求极限是数学分析中的基础内容，掌握不同类型极限的处理方法对于深入学习微积分具有重要意义。通过归纳和练习，可以提高对极限问题的理解和解题能力。希望本文提供的例题和解题思路能对你的学习有所帮助。
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