【二项分布是什么】二项分布是概率论与统计学中一种重要的离散型概率分布，用于描述在固定次数的独立重复试验中，某事件发生成功次数的概率分布。它适用于每次试验只有两种可能结果（如“成功”或“失败”）的情况，并且每次试验的成功概率相同。
一、二项分布的基本概念
1. 定义：设一个实验进行 $ n $ 次独立重复，每次成功的概率为 $ p $，失败的概率为 $ 1 - p $，则在这 $ n $ 次试验中恰好发生 $ k $ 次成功的概率服从二项分布，记作 $ X \sim B(n, p) $。
2. 公式：
$$
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
其中，$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 是组合数。
3. 适用条件：
- 试验次数 $ n $ 是固定的。
- 每次试验是独立的。
- 每次试验只有两种结果（成功或失败）。
- 每次试验的成功概率 $ p $ 相同。
二、二项分布的特点
| 特点 | 描述 |
| 离散性 | 取值为整数，即 $ k = 0, 1, 2, ..., n $ |
| 对称性 | 当 $ p = 0.5 $ 时，分布对称 |
| 峰值 | 分布的峰值出现在 $ np $ 附近 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = np(1-p) $ |
| 均值 | $ E(X) = np $ |
三、实际应用举例
- 投掷硬币：抛一枚硬币10次，正面出现的次数服从二项分布 $ B(10, 0.5) $。
- 质量检测：工厂生产一批产品，每件产品合格的概率为 $ p $，从中随机抽取 $ n $ 件，合格品数量服从二项分布。
- 医疗测试：某种药物对疾病的有效率为 $ p $，在 $ n $ 名患者中有效的人数服从二项分布。
四、总结
二项分布是一种用于描述多次独立重复试验中成功次数的概率模型，具有明确的数学表达式和广泛的实际应用场景。理解二项分布有助于我们在统计分析、风险评估和决策制定中做出更准确的判断。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 描述 $ n $ 次独立重复试验中成功次数的概率分布 |
| 公式 | $ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $ |
| 条件 | 试验次数固定、独立、结果二元、成功概率相同 |
| 应用 | 投掷、质量控制、医学研究等 |
| 特点 | 离散、对称、均值 $ np $、方差 $ np(1-p) $ |
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