在学习高等数学的过程中，掌握各类公式与定理是理解数学理论、解决实际问题的基础。为了便于复习与查阅，本文对高等数学中常见的公式和定理进行系统整理，帮助读者构建清晰的知识体系。
一、函数与极限
1. 极限的定义
设函数 $ f(x) $ 在某点 $ x_0 $ 的邻域内有定义，则当 $ x \to x_0 $ 时，若存在一个常数 $ A $，使得对于任意给定的正数 $ \varepsilon > 0 $，总存在正数 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < |x - x_0| < \delta $ 时，有 $ |f(x) - A| < \varepsilon $，则称 $ A $ 为 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处的极限，记作：
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = A
$$
2. 无穷小与无穷大
- 若 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 $，则称 $ f(x) $ 是 $ x \to x_0 $ 时的无穷小；
- 若 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty $，则称 $ f(x) $ 是 $ x \to x_0 $ 时的无穷大。
3. 重要极限公式
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e $
- $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $
二、导数与微分
1. 导数的定义
函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x $ 处的导数定义为：
$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$
2. 基本求导法则
- $ (u \pm v)' = u' \pm v' $
- $ (uv)' = u'v + uv' $
- $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
- 链式法则：$ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
3. 常见函数导数
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $
- $ (e^x)' = e^x $
- $ (x^n)' = nx^{n-1} $
4. 微分形式
若 $ y = f(x) $，则其微分为：
$$
dy = f'(x) dx
$$
三、积分与不定积分
1. 不定积分定义
若 $ F'(x) = f(x) $，则称 $ F(x) $ 为 $ f(x) $ 的一个原函数，且：
$$
\int f(x) dx = F(x) + C
$$
2. 基本积分公式
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
3. 换元积分法
设 $ u = g(x) $，则：
$$
\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du
$$
4. 分部积分法
$$
\int u dv = uv - \int v du
$$
四、多元函数微分
1. 偏导数定义
对于函数 $ z = f(x, y) $，其关于 $ x $ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}
$$
2. 全微分
若 $ z = f(x, y) $ 可微，则其全微分为：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
3. 方向导数与梯度
方向导数表示函数在某一方向上的变化率，而梯度向量 $ \nabla f $ 表示函数的最大增长方向。
五、级数与幂级数
1. 数项级数收敛性判断
- 比值判别法：若 $ \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L $，则：
- $ L < 1 $ 时收敛；
- $ L > 1 $ 时发散；
- $ L = 1 $ 时不确定。
- 比较判别法、根值判别法等。
2. 泰勒级数展开
函数 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处的泰勒展开为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
$$
3. 常用函数的麦克劳林级数
- $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $
- $ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $
- $ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $
六、常微分方程
1. 一阶线性微分方程
形如 $ y' + P(x)y = Q(x) $，其通解为：
$$
y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right)
$$
2. 可分离变量方程
若方程可写成 $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $，则可通过分离变量法求解。
七、总结
高等数学涵盖的内容广泛，涉及函数、极限、导数、积分、级数以及微分方程等多个方面。掌握这些基础公式与定理，有助于深入理解数学理论，并在实际问题中灵活应用。通过不断练习与归纳，可以进一步提高数学思维能力和解题技巧。
注：本文内容基于高等数学教材与教学大纲整理，适用于大学阶段学生复习或自学使用。
