【一元二次方程经典测试题(含答案解析)】一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是中考和各类考试中常见的考点。掌握好一元二次方程的相关知识，不仅有助于提升数学成绩，还能为后续学习函数、不等式等内容打下坚实基础。
本文整理了一组关于一元二次方程的经典测试题，并附有详细的解答过程，帮助同学们巩固知识点、查漏补缺。
一、选择题
1. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解是（ ）
A. $ x = 2 $
B. $ x = 3 $
C. $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
D. 无解
解析：
将方程因式分解：$ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 $，因此解为 $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $。
答案：C
2. 若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 有两个相等的实数根，则判别式 $ \Delta $ 满足（ ）
A. $ \Delta > 0 $
B. $ \Delta < 0 $
C. $ \Delta = 0 $
D. $ \Delta \geq 0 $
解析：
当判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac = 0 $ 时，方程有两个相等的实数根。
答案：C
二、填空题
3. 方程 $ x^2 - 4x = 0 $ 的解是 ________。
解析：
提取公因式：$ x(x - 4) = 0 $，所以解为 $ x = 0 $ 或 $ x = 4 $。
答案：0 或 4
4. 若一元二次方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两个根为 1 和 -2，则 $ p + q = $ ________。
解析：
根据韦达定理，根与系数的关系为：
- 和：$ 1 + (-2) = -p $ ⇒ $ p = 1 $
- 积：$ 1 \times (-2) = q $ ⇒ $ q = -2 $
所以 $ p + q = 1 + (-2) = -1 $。
答案：-1
三、解答题
5. 解方程：$ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $
解析：
使用求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中 $ a = 2 $, $ b = -5 $, $ c = 2 $，代入得：
$$
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}
$$
因此，解为：
$$
x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2,\quad x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}
$$
答案：$ x = 2 $ 或 $ x = \frac{1}{2} $
6. 已知方程 $ x^2 + mx + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根，求 $ m $ 的值。
解析：
因为有两个相等的实数根，所以判别式 $ \Delta = 0 $。
即：
$$
m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \Rightarrow m^2 = 4 \Rightarrow m = \pm 2
$$
答案：$ m = 2 $ 或 $ m = -2 $
四、应用题
7. 某商场销售一种商品，每件售价为 80 元，每天可卖出 100 件。若每降价 1 元，销量增加 5 件。问：要使日销售额最大，应如何定价？
解析：
设降价 $ x $ 元，则售价为 $ 80 - x $ 元，销量为 $ 100 + 5x $ 件。
销售额 $ S = (80 - x)(100 + 5x) $
展开并整理：
$$
S = -5x^2 + 300x + 8000
$$
这是一个开口向下的抛物线，顶点处取得最大值。
顶点横坐标为：
$$
x = \frac{-b}{2a} = \frac{-300}{2 \times (-5)} = 30
$$
即降价 30 元，售价为 $ 80 - 30 = 50 $ 元时，销售额最大。
答案：应定价 50 元
总结
通过以上练习题可以看出，一元二次方程的解法主要包括因式分解、配方法、求根公式以及利用判别式判断根的情况。同时，结合实际问题进行建模分析，也能提高解题能力。
建议同学们在复习过程中多做类似的题目，强化对基础知识的理解与运用。希望本套测试题能帮助大家更好地掌握一元二次方程的相关内容！
