【等比数列计算公式】等比数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的比值保持不变。这个不变的比值称为公比，通常用字母 $ q $ 表示。等比数列在实际生活中有广泛应用，如金融中的复利计算、生物学中的细胞分裂模型等。为了更好地理解和应用等比数列，掌握其基本公式至关重要。

一、等比数列的基本概念

- 首项：数列的第一个数，记作 $ a_1 $

- 公比：相邻两项的比值，记作 $ q $

- 通项公式：表示数列第 $ n $ 项的公式

- 前 $ n $ 项和公式：表示数列前 $ n $ 项的总和

二、等比数列的核心公式

三、使用示例

假设有一个等比数列，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求：

1. 第5项是多少？

2. 前5项的和是多少？

解答：

1. 第5项：

$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $

2. 前5项和：

$ S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242 $

四、注意事项

- 当公比 $ q = 1 $ 时，等比数列为常数列，此时前 $ n $ 项和为 $ S_n = a_1 \cdot n $

- 若公比 $ q < 1 $，则该等比数列具有收敛性，可以求出无限项的和

- 在实际问题中，需根据题目条件选择合适的公式进行计算

通过掌握这些公式和应用场景，可以更高效地解决与等比数列相关的数学问题。理解其背后的逻辑，也有助于提升数学思维能力。

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