【阶乘的常用公式】阶乘是数学中一个非常基础且重要的概念，广泛应用于组合数学、概率论、排列组合等领域。阶乘的定义为：对于正整数 $ n $，其阶乘记作 $ n! $，表示从 1 到 $ n $ 所有正整数的乘积。本文将总结阶乘的一些常用公式和性质，并通过表格形式进行归纳，便于理解和应用。
一、阶乘的基本定义
对于任意非负整数 $ n $，阶乘的定义如下：
$$
n! =
\begin{cases}
1 & \text{当 } n = 0 \\
n \times (n - 1) \times \cdots \times 2 \times 1 & \text{当 } n \geq 1
\end{cases}
$$
特别地，$ 0! = 1 $ 是一个约定，用于简化计算。
二、阶乘的常用公式与性质
以下是阶乘的一些常用公式和性质，便于在实际问题中快速使用：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 阶乘定义 | $ n! = n \times (n-1)! $ | 递归定义，适用于所有 $ n \geq 1 $ |
| 零阶乘 | $ 0! = 1 $ | 数学中的约定 |
| 对称性 | $ n! = (n - k)! \times (n - k + 1) \times \cdots \times n $ | 可用于分段计算 |
| 组合数公式 | $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ | 用于计算组合数 |
| 排列数公式 | $ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $ | 用于计算排列数 |
| 斯特林公式（近似） | $ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n $ | 用于估算大数阶乘 |
| 双阶乘 | $ n!! = n \times (n - 2) \times \cdots \times 1 $（若 $ n $ 为奇数） 或 $ n!! = n \times (n - 2) \times \cdots \times 2 $（若 $ n $ 为偶数） | 用于某些特殊场合的阶乘扩展 |
三、阶乘的常见应用场景
1. 组合问题：如从 $ n $ 个元素中选出 $ k $ 个的组合方式数目。
2. 排列问题：如 $ n $ 个不同元素的排列方式数目。
3. 概率计算：在概率分布中，如二项分布、泊松分布等。
4. 算法分析：在时间复杂度分析中，阶乘常用于描述最坏情况下的运行时间。
四、小结
阶乘作为一种基本的数学工具，具有广泛的用途和多种计算方式。理解其定义、公式及性质，有助于在实际问题中更高效地进行计算和分析。通过上述表格可以快速查阅常用公式，提高学习和工作的效率。
注：本文内容为原创总结，旨在帮助读者更好地理解和应用阶乘相关知识。
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