【高等数学(同济大学及第六版下及期末综合练习题及答)】在高校的数学课程中,《高等数学》作为一门基础性与应用性极强的课程,始终占据着重要地位。而《高等数学(同济大学第六版)》作为国内广泛使用的教材之一,因其内容系统、结构清晰、例题丰富,深受师生喜爱。尤其在“下册”部分,主要涵盖了多元函数微积分、重积分、曲线与曲面积分、无穷级数等内容,是考试的重点和难点所在。
为了帮助同学们更好地复习备考,掌握知识点并提升解题能力,本文整理了一份“高等数学(同济大学第六版)下册”的期末综合练习题,并附有详细解答,旨在为学生提供一份实用的学习资料。
一、练习题精选
1. 计算二重积分
$$
\iint_{D} (x + y) \, d\sigma
$$
其中区域 $ D $ 由 $ x^2 + y^2 \leq 1 $ 所围成。
2. 求函数 $ f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 $ 的极值点。
3. 判断级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln(n+1)}
$$
是否收敛,若收敛,判断是绝对收敛还是条件收敛。
4. 计算三重积分
$$
\iiint_{V} z \, dV
$$
其中 $ V $ 是由 $ x^2 + y^2 \leq z $ 和 $ z \leq 1 $ 所围成的立体区域。
5. 求曲线 $ \mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t) $ 在 $ t = \frac{\pi}{2} $ 处的切向量与法向量。
二、参考答案与解析
1. 解答:
利用极坐标变换:
令 $ x = r \cos \theta $,$ y = r \sin \theta $,则 $ x^2 + y^2 = r^2 $,积分区域变为 $ 0 \leq r \leq 1 $,$ 0 \leq \theta \leq 2\pi $。
原式变为:
$$
\int_0^{2\pi} \int_0^1 (r \cos \theta + r \sin \theta) \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 (\cos \theta + \sin \theta) \, dr \, d\theta
$$
先对 $ r $ 积分:
$$
\int_0^1 r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}
$$
再对 $ \theta $ 积分:
$$
\int_0^{2\pi} (\cos \theta + \sin \theta) \, d\theta = \left[ \sin \theta - \cos \theta \right]_0^{2\pi} = 0
$$
所以,结果为 0。
2. 解答:
求偏导数:
$$
f_x = 3x^2 - 3y, \quad f_y = -3x + 3y^2
$$
令偏导数为零,解方程组:
$$
\begin{cases}
3x^2 - 3y = 0 \\
-3x + 3y^2 = 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x^2 = y \\
y^2 = x
\end{cases}
$$
代入得 $ x^4 = x \Rightarrow x(x^3 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 $ 或 $ x = 1 $
当 $ x = 0 $ 时,$ y = 0 $;
当 $ x = 1 $ 时,$ y = 1 $
计算二阶偏导数:
$$
f_{xx} = 6x, \quad f_{yy} = 6y, \quad f_{xy} = -3
$$
对于点 $ (0, 0) $,判别式 $ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0 - 9 = -9 < 0 $,说明不是极值点。
对于点 $ (1, 1) $,$ D = 6 \times 6 - (-3)^2 = 36 - 9 = 27 > 0 $,且 $ f_{xx} = 6 > 0 $,故为极小值点。
3. 解答:
考虑级数:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln(n+1)}
$$
首先判断是否绝对收敛:
比较级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n+1)} $ 是否收敛。
使用积分判别法,考虑函数 $ f(x) = \frac{1}{x \ln(x+1)} $,积分从 $ 1 $ 到 $ \infty $,发散,因此原级数不绝对收敛。
但原级数为交错级数,满足莱布尼茨判别法(通项单调递减趋于0),故该级数 条件收敛。
4. 解答:
采用柱坐标系,设 $ x^2 + y^2 = r^2 $,则区域 $ V $ 可表示为 $ 0 \leq r \leq \sqrt{z} $,$ 0 \leq z \leq 1 $,$ 0 \leq \theta \leq 2\pi $。
积分表达式为:
$$
\iiint_V z \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{\sqrt{z}} z \cdot r \, dr \, dz \, d\theta
$$
先对 $ r $ 积分:
$$
\int_0^{\sqrt{z}} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{\sqrt{z}} = \frac{z}{2}
$$
再对 $ z $ 积分:
$$
\int_0^1 z \cdot \frac{z}{2} \, dz = \frac{1}{2} \int_0^1 z^2 \, dz = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
$$
最后乘以 $ 2\pi $ 得:
$$
\frac{1}{6} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{3}
$$
5. 解答:
曲线 $ \mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t) $,其导数为:
$$
\mathbf{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)
$$
在 $ t = \frac{\pi}{2} $ 时,
$$
\mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{2}\right) = (-1, 0, 1)
$$
这是曲线在该点的 切向量。
法向量通常指曲率方向或垂直于切向量的方向,但在单变量参数曲线中,一般只讨论切向量。若需法向量,可取单位向量垂直于切向量的方向。
三、总结
通过上述练习题的训练,可以有效巩固《高等数学(同济大学第六版)下册》的核心知识点,包括二重积分、极值问题、级数敛散性、三重积分以及曲线的几何性质等。建议同学们在复习过程中注重理解概念、掌握方法、多做练习,从而提高应试能力和数学素养。
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