【一元二次不等式基础练习题】在数学学习中，一元二次不等式是初中到高中阶段的重要知识点之一。它不仅与方程有着密切的联系，还广泛应用于实际问题的建模和求解过程中。掌握一元二次不等式的解法，有助于提高学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

一、什么是“一元二次不等式”？

一元二次不等式是指只含有一个未知数（即“一元”），且未知数的最高次数为2（即“二次”）的不等式。其一般形式为：

$$

ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{或} \quad ax^2 + bx + c < 0

$$

其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数。

二、一元二次不等式的解法步骤

1. 将不等式化为标准形式

确保不等式右边为0，左边为一个二次多项式。

2. 求出对应的二次方程的根

解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，得到两个实数根（可能相等或无实数根）。

3. 画出二次函数的图像

根据开口方向（由 $ a $ 的正负决定）和判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ 的值，判断图像与x轴的交点情况。

4. 结合图像分析不等式的解集

根据不等号的方向（大于或小于）以及抛物线的位置，确定满足条件的x值范围。

三、常见题型与练习题

题型1：直接求解不等式

例题1：解不等式 $ x^2 - 5x + 6 > 0 $

解法：

先解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，得 $ x_1 = 2 $，$ x_2 = 3 $。

因为 $ a = 1 > 0 $，抛物线开口向上。

所以不等式成立的区间为 $ x < 2 $ 或 $ x > 3 $。

答案：$ x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) $

题型2：含参数的一元二次不等式

例题2：已知不等式 $ x^2 - (m+1)x + m < 0 $ 的解集为 $ (1, 2) $，求 $ m $ 的值。

解法：

根据解集为 $ (1, 2) $，说明方程 $ x^2 - (m+1)x + m = 0 $ 的两根为1和2。

由韦达定理可得：

- 和：$ 1 + 2 = m + 1 \Rightarrow m = 2 $

- 积：$ 1 \times 2 = m \Rightarrow m = 2 $

答案：$ m = 2 $

题型3：与二次函数图像结合的问题

例题3：若函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $ 的图像开口向下，且与x轴有两个交点，那么不等式 $ f(x) > 0 $ 的解集是什么？

解法：

由于开口向下，且与x轴有两个交点，说明该二次函数在两个根之间为正。

因此，不等式 $ f(x) > 0 $ 的解集为两个根之间的区间。

答案：设两根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $（$ x_1 < x_2 $），则解集为 $ x \in (x_1, x_2) $

四、练习题精选

1. 解不等式：$ x^2 - 4x + 3 < 0 $

2. 已知不等式 $ x^2 + (k-1)x + k < 0 $ 的解集为 $ (-1, 2) $，求 $ k $ 的值。

3. 求不等式 $ 2x^2 - 5x + 2 \geq 0 $ 的解集。

4. 若 $ x^2 + px + q > 0 $ 的解集为全体实数，求 $ p $ 与 $ q $ 应满足的条件。

5. 解不等式：$ (x - 1)(x + 2) \leq 0 $

五、总结

一元二次不等式的学习需要理解二次函数的图像性质，并能够灵活运用求根公式、判别式和数轴法进行分析。通过不断的练习和归纳，可以逐步提高对这类问题的解决能力。希望同学们在做题过程中注重方法的积累，逐步提升自己的数学素养。