【(二)极限与连续】在数学的发展历程中，极限与连续是微积分体系中最为基础且重要的概念之一。它们不仅构成了函数分析的核心内容，也在物理、工程、经济学等多个领域中发挥着不可替代的作用。理解极限与连续的含义及其相互关系，有助于我们更深入地掌握函数的变化规律和整体性质。

首先，极限的概念源于对“无限接近”这一现象的抽象描述。当一个变量随着另一个变量的变化而逐渐趋近于某个确定值时，我们便可以用极限来刻画这种趋势。例如，在研究函数 $ f(x) $ 在某一点 $ x = a $ 附近的行为时，若随着 $ x $ 接近 $ a $，$ f(x) $ 的值逐渐趋于某个常数 $ L $，则称 $ L $ 为 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处的极限，记作：

$$

\lim_{x \to a} f(x) = L

$$

极限的存在性并不依赖于函数在该点是否有定义，而是关注其邻域内的变化趋势。这一思想为后续的导数、积分等概念奠定了坚实的理论基础。

其次，连续性是函数在极限基础上的一个自然延伸。如果一个函数在其定义域内的每一点都满足极限值等于函数值，即：

$$

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

$$

那么我们称该函数在 $ x = a $ 处是连续的。连续函数的一个重要特征是其图像可以“一笔画出”，没有断点或跳跃。这使得连续函数在实际应用中具有良好的可预测性和稳定性。

从数学的角度来看，极限与连续之间存在着密切的联系。一方面，连续性的定义本身就是基于极限的；另一方面，许多关于连续函数的性质（如介值定理、极值定理等）也依赖于极限的严格分析。因此，理解极限是学习连续性的前提，而掌握连续性则是进一步研究函数性质的关键。

此外，在实际问题中，极限与连续常常被用来描述系统的变化过程。例如，在物理学中，物体的运动状态可以通过连续函数来表示，而速度、加速度等概念则依赖于极限的计算。在经济学中，连续函数可用于建模市场行为，帮助预测价格波动和供需关系。

综上所述，极限与连续不仅是数学理论中的核心内容，更是连接抽象数学与现实世界的重要桥梁。通过深入理解这两个概念，我们不仅能更好地掌握微积分的基本原理，还能在更广泛的科学与工程实践中灵活运用这些知识。